一、离散傅立叶反变换公式？

用对称原则 cos2t傅里叶变更是π[δ(ω+2)+δ(ω-2)] 那么cos2ω的傅里叶逆变换就是1/2[δ(t+2)+δ(t-2)]。

二、为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？

当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。

直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。

但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。

且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。

要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。

傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。

该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。

最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。

它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

任意的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

三、实验七傅立叶变换及其性质？

1线性性 2对称性 3相似性 4平移性 5像函数的平移性(频移性) 6微分性 7像函数的微分性 8积分性 9卷积与卷积定理 10乘积定理 11能量积分

四、证明傅立叶变换的翻转性质？

傅立叶级数:

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示

f(t)=a0+∑n=1∞ancos(nw0t)+bnsin(nw0t)f(t)=a0+∑n=1∞ancos(nw0t)+bnsin(nw0t)

傅立叶变换:

傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式,同时也适用于非周期性现象的分析。

五、z变换和快速傅立叶变换以及傅里叶变换之间的关系？

Z变换是傅来里叶变换的推广，当源傅里叶变换不存在时，Z变换所定义的幂级数可能收敛。

傅里叶变换是在单位圆上的Z变换，也就相当于在概念上把线性频率轴缠绕在单位圆上，因此傅里叶变换在频率上的固有周期性就自然得到了。 Z变换公式中，令 ，可以得到离散序列的傅里叶变换与Z变换的关系： 再根据z反变换，将积分围线取在单位圆上，得： 可见，Z平面单位圆上的一周正好对应 的一个周期。

六、离散傅立叶变换与z变换有什么区别？

fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域;它可以说是laplace变换的特例，laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域(整个复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴);z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果(T为采样周期)，所对应的域为数字复频率域，此时数字频率ω=ΩT。

七、怎么用fft快速傅立叶变换处理pcm，做到消去人声?

（稀里糊涂被知乎禁言了几天）

楼上张苏已经回答了。我能做的不过就是把他一句话拆成几句。

关于：2.pcm解码后量化的左右声道数字是个什么，电平值？如何对这些数字做fft？

从提问看你应该是在一个LOW LEVEL的环境，C之类，WAV拿进来直接用SHORT的。我们平时一般都映射到-1到1的浮点。你的short值除以一个2^15得到就是浮点了。这些值就是采样值，你说电平值也行。对数字做fft就是把你的原始信号拿进来过fft函数，得到那一整段信号的频谱spectrum。如果要得到有时间轴的信息，你需要的是spectrogram，这个得做短时fft了，简写STFT，简单理解就是信号的时间顺序每次取信号中的一个部分来做FFT。

关于：3.我只是本科数学出身，出来后做计算机的后端服务器工作8年，最近想搞音频处理（暂不做语音识别，现只做fft和滤波方面），但高数，复变已经不会了，这会不会很难？

得去看DSP，从最初学起要花一定时间的功夫，真的。

关于：1.怎么把左右声道的数字做fft，转成频谱，然后把人声赫兹范围200-8000的数字置为0（消去人声），最后做fft的逆变换，转为一个左声道short数字，一个右声道的short数字

求音频处理的fft和逆fft函数

你已经知道搞到频谱要用FFT了。假设按照你的方法，做完FFT，得到把频谱中200-8000范围的成分（FFT的bin）乘以0，也就是说你的方法等同于，把你的信号频谱乘以一个一部分是1，中间是0的理想分段函数，其实就是个理想bandstop滤波器。

这个1和0的突变会使得你这个东西其实是没法实现你想要的功能。这个理想bandstop的时域信号是无限长的，IIR。你的方法其实做的是频域相乘（你得到的频谱乘以图中这个不是1就是0的一个函数），而频域相乘等于时域卷积，也就是说这个操作等同于你的原始信号和一个无限长的信号卷积，这明显是不可能的。所以你即便硬这么做，IFFT回去得到的也不是你预期的结果（我猜结果回去的时域信号是个不停被混叠的结果）。所以你还是从时域滤波器做吧。

做这个一定要先用MATLAB先做，再移植到C/C++。直接上C会很痛苦。调试麻烦。MATLAB都有现成的FFT和IFFT函数。而且如果FFT和滤波器基础概念不太懂的话，直接用别人用C写的FFT估计都不能上手，开源的C的FFT函数很多，好用的也不少，google和github上搜一搜。

八、示波器的快速傅立叶变换怎么用？

就是用来根据实时测量到的信号来计算频谱的呗，用了这个功能的话会再跳出来一条曲线，横轴是频率，对应的就是你的信号的频谱了，不过这个精度一般都很差的，只能用来参考，要准确测量频谱还得要频谱分析仪

九、傅立叶变换的物理意义是什么？

周期信号的傅里叶级数的意义是信号在每一个离散频率分量处的幅度；

非周期信号的傅里叶变换可以理解为周期无穷大的周期信号的傅里叶级数。这时，离散的频率逐渐变成了连续的频率，某一点频率处的频谱密度值是没有意义的，如同概率密度函数，你只有求那一点附近一小段频率内与频谱密度函数形成的面积值才有意义，才表示了信号在那一频率点的幅度。

具体参考《信号与系统》郑君里版清华大学出版社p91,p111

十、机器学习k-l变换

机器学习：利用k-l变换优化数据处理

在当今数字化时代，数据处理和分析已经成为企业成功的关键。机器学习技术的发展为数据处理提供了全新的解决方案，其中k-l变换（Karhunen-Loève变换）作为一种非常重要的数据处理技术，被广泛应用于信号处理、模式识别等领域。

k-l变换是一种线性变换方法，通过将数据映射到新的坐标系中，使得在新的坐标系中数据的方差最大化，以达到降维和去噪的效果。在机器学习中，k-l变换可以帮助我们发现数据之间的内在联系，从而更好地挖掘数据的特征和规律。

为什么要使用k-l变换？

在大规模数据处理和分析中，数据往往具有高维度和复杂性。这些高维数据不仅增加了计算复杂度，也可能包含大量冗余信息和噪声。而k-l变换的主要作用之一就是通过降维，去除冗余信息和噪声，提取数据的主要特征，从而简化数据分析的过程。

此外，k-l变换还可以用于数据压缩和特征提取。通过保留数据的主要信息，同时丢弃次要信息，可以大幅减小数据的存储空间和计算成本，提高数据处理的效率和准确性。

如何应用k-l变换进行数据优化？

在实际应用中，利用k-l变换对数据进行优化可以分为以下几个步骤：

• 数据标准化：首先对原始数据进行标准化处理，确保数据的均值为0，方差为1。
• 计算协方差矩阵：将标准化后的数据计算其协方差矩阵，这一步是k-l变换的基础。
• 计算特征值和特征向量：通过对协方差矩阵进行特征值分解，得到数据的特征值和对应的特征向量。
• 选择主成分：根据特征值的大小排列，选择最大的k个特征值及其对应的特征向量作为主成分。
• 数据变换：将原始数据投影到选定的主成分上，得到优化后的数据。

通过以上步骤，我们可以利用k-l变换对数据进行优化，实现数据的降维、去噪和特征提取，为后续机器学习算法的应用打下良好的基础。

实例分析

为了进一步说明k-l变换在数据处理中的应用，我们来看一个实际的案例分析。假设我们有一个包含多维特征的数据集，我们希望通过k-l变换对数据进行优化。

首先，我们对数据集进行标准化处理，然后计算其协方差矩阵。接着，我们对协方差矩阵进行特征值分解，得到数据的特征值和特征向量。再根据特征值的大小选择主成分，将数据投影到主成分上，得到优化后的数据。

通过实例分析，我们可以看到，k-l变换能够帮助我们发现数据的潜在特征，去除冗余信息，提高数据的可解释性和预测准确性。

结语

在机器学习和数据处理领域，利用k-l变换对数据进行优化是一种重要且有效的方法。通过降维、去噪和特征提取，k-l变换可以帮助我们更好地理解数据，提高数据处理和分析的效率和准确性。

未来随着数据量的不断增加和数据复杂性的提升，k-l变换将会在数据处理和分析中发挥更加重要的作用，成为数据科学和机器学习的利器。